阶段测评(二) 空间向量与立体几何（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(二)　空间向量与立体几何 [对应学生用书P100] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　 　D． C　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，)，D1(0，0，)， ，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.] 2．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　) A. B． C． D． D　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， ∴＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.] 3．在四棱锥P­ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　) A．2 B．1 C．13 D．26 A　[设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则y＝4，z＝，n＝(1，4，)，d＝＝2.] 4．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成30°角，则的值是(　　) A．1 B．2 C． D． C　[取AD的中点O，则由OP⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD推出OP⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系Oxyz，OD在x轴上，OP在z轴上，如图所示，并设AD＝2a，AB＝2b，则P(0，0，a)，C(a，2b，0)，故＝(a，2b，0)，＝(a，2b，－a). 有〈，〉＝30°，得cos 30°＝＝ ＝，解得b＝a，所以＝＝.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．(多选题)(2020·江苏常州市常州高级中学高二期中)以下命题正确的是(　　) A．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝(1，2，1)，则l⊥m B．直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－1，0)，n2＝(－4，2，0)，则α∥β D．平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 CD　[A：∵a＝(1，－1，2)，b＝，∴a·b＝1×1－1×2＋2×1＝1≠0， 则a，b不垂直，∴直线l与m不垂直，故A不正确； B：若l⊥α，则a∥n， ∴存在实数λ，使得＝λ，无解，故B错误； C：∵n1＝，∴n2＝＝－2n1， ∴n1与n2共线，∴α∥β，故C正确； D：∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)， ∴＝，＝. ∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴， 即，解得u＋t＝1，故D正确．故选C、D.] 6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　) A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 BC　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，G(2，2，1). 对于选项A，DD1＝(0，0，2)，＝(－2，2，1)，因为DD1·＝2≠0，所以直线D1D与直线AF不垂直，故A不正确．对于选项B，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)，设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即取x＝2，则n＝(2，1，2). ，所以直线A1G与平面AEF平行，故B正确．对于选项C，取平面ABCD的法向量u＝(0，0，1)，则cos 〈n，u〉＝，所以平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为，故C正确．对于选项D