课后巩固(一)空间向量及其线性运算（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应学生用书P87] 1．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[∵＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b， ＝－＝－a－2b，∴＝－2，且又有公共点B. ∴A，B，D三点共线．] 2．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝(　　) D　[如图所示， 3．(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的有(　　) ABCD　 4．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c C　[＝(＋)＝－＋(＋) ＝－＋＋ ＝－＋(－)＋(－) ＝－＋＋＝a－b＋c.] 5．(多选题)若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则下列四个式子能得出M，A，B，C四点共面的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ ABD　[对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，A符合；对于B，D选项，易知，，共面，又有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，所以B，D符合；选项C中，，不共面，即M，A，B，C四点不共面．] 6．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，E为BC的延长线上一点，＝2，则 (　　) B　[取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以所以 7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________． a＋b－c　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c ＝a＋b＋c ＝a＋b－c.] 8．已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，＝＋β，则β＝________． 　[∵A，B，P三点共线， ∴＝λ，即－＝λ(－)， ＝(1－λ)＋λ. 又＝＋β，∴∴β＝.] 9．如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量． 解　如图所示． ∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝. 又＝(－)＝－＝－＝， ∴＋－＝＋－＝. 10．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.] 11．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则(　　) A．x＝－，y＝　　　　 B．x＝，y＝－ C．x＝－，y＝－ D．x＝，y＝ A　 ∴x＝－，y＝.] 12．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________． 　[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.] 13．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值． (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 解　如图所示． (1)∵＝－＝－(＋) ＝－－， ∴x＝y＝－. (2)∵＋＝2，＝2－. ∵＋＝2， ∴＝2－. 从而有＝2－(2－)＝2－2＋. ∴x＝2，y＝－2. 14．如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面． 解　由题图可得＝＋＋.① ∵＝＋＋， 又＝－，＝－，② ∴①＋②得2＝＋， 即＝＋，故向量与向量，共面． 15．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 证明　如图，连接EG，BG. (1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH， BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH. 学科网（北京）股份有限公司 $