1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题． 4．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用． 通过向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P21] 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos_〈u，v〉|＝． 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos_〈u，n〉|＝，如图． 1．平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos_〈n1，n2〉|＝，如图． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×) (3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角．(×) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(√) 2．(教材P38练习题1改编)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　D　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 3．已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　B　) A．30°　　　B．60°　　　C．150°　　　D．120° 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°． [对应学生用书P22] 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则异面直线PQ与AM所成的角是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． D　[以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，＝(0，－1，2)， 所以·＝0，所以QP与AM所成角为.] [方法总结]　求异面直线所成的角的方法 (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)坐标法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线 所成的角． 提醒：两条异面直线所成的角的取值范围是. [训练1]　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足． (1)求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值． (1)证明　以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)， D(0，2a，0). ∵∠PDA＝30°， ∴AP＝AD·tan 30°＝2a·＝a， AE＝AD·sin 30°＝2a·＝a. 过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°， ∴AF＝，EF＝a. ∴P，E. ∴＝， ＝. ∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD. (2)解　＝，＝(－a，a，0). 则cos 〈，〉＝＝＝， 则AE与CD的夹角的余弦值为. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成的角． 解题流程： 第一步　泛读题目明待求结论：(1)证明PB⊥DM； (2)求BD与平面A