1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法． 3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系． 4．能用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 通过直线的方向向量和平面的法向量的求法，利用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系的学习，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P15] 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta或＝＋t，这就是空间直线的向量表达式． 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 位置关系 向量表示 图形表示 线线 平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 线面 平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 面面 平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β ⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 线面 垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 面面 垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行．(×) (3)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1和l2的位置关系是平行.(√) (4)平面的单位法向量是唯一确定的．(×) (5)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(√) (6)已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(√) (7)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.(×) 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　D　) A．(1，1，－1)　　　　　 B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　D　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 4．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝－8． [对应学生用书P16] 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． [分析]　先建系，利用待定系数法求平面法向量，根据法向量与平面内的两条不共线的向量垂直，计算出平面的一个法向量． 解　易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，C(，1，0)，D1(0，3，3)， 所以＝(0，3，3)，＝(，1，0). 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量． 则即 令x＝1，则n＝(1，－，). 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，). [变式1]　本题条件不变，试求直线B1D的一个方向向量和平面B1CD的一个法向量． 解　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则B1(，0，3)，C(，1，0)，D(0，3，0)， 所以B1D＝(