1.1.2 空间向量的数量积运算（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握空间向量的夹角的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律． 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题． 通过空间向量的数量积的定义、几何意义、性质、运算律的学习与应用，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． [对应学生用书P5] 1．空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地，当〈a，b〉＝0时，两向量a，b同向共线；当〈a，b〉＝π时，两向量a，b反向共线．所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos_〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2＝a2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b) a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) 1．向量a向向量b的投影：如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos_〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．如图(2)，也可以将向量a向直线l投影． 2．向量a向平面β的投影：如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(×) (2)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(×) (3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(×) (4)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(×) (5)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(×) 2．(教材P9习题1.1题4改编)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　C　) A．a2　　　 B．a2　　　 C．a2　　　 D．a2 3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　B　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 4．(教材P7例2改编)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝5． [对应学生用书P6] 如图，已知正四面体ABCD的每条棱和对角线长都等于1，点E，F分别是棱AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·； (3)·. [分析]　求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算． 解　(1)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝，所以·＝. (2)·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 0°＝，所以·＝. (3)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 120°＝－，所以·＝－. [变式]　在本例条件下求： (1)·；(2)(＋)·(＋). 解　(1)·＝||||cos ∠BAC ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. [方法总结]　在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． [训练1]　(多选题)(2020·山东威海高二期末)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则下列结论正确的是(　　) BC　[如下图所示： 对于A选项，＝·＝·＝2＝a2，A选项错误； 对于B选项，＝ ＝B选项正确； 对于C选项，＝－2＝－a2，C选项正确； 对于D选项，＝2＝a2，D选项错误．故选B、C.] [知能解读]　设向量a，b所成的角为θ，则cos