模块复习课(一) 空间向量与立体几何（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P77] 自我校对　(1)存在实数λ，使a＝λb；(2)p＝xa＋yb；(3)|a||b|cos 〈a，b〉 ；(4)a·b＝0；(5)|a|2＝a2；(6)p＝xa＋yb＋zc；(7)xi＋yj＋zk；(8)(x，y，z)；(9)(λa1，λa2，λa3)；(10)a1b1＋a2b2＋a3b3；(11)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；(12)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；(13)；(14)u1∥u2；(15)u1⊥u2；(16)u⊥n；(17)u∥n；(18)n1∥n2；(19)n1⊥n2；(20) ；(21)；(22)|cos 〈u，v〉|＝；(23)|cos 〈u，n〉|＝；(24)|cos 〈n1，n2〉|＝. [对应学生用书P77] 空间向量运算的类型及关键点 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos 〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式． [训练1]　(1)(多选题)(2020·山东济南回民中学高二期中)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，－2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝　　　 B．a－b＝ C．a·b＝10 D．＝6 AD　[因为a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，－2)， 所以a＋b＝(10，－5，－6)，a－b＝，a·b＝4×6＋×＋×＝38， ＝＝6.故选A、D.] (2)(多选题)(2020·辽宁葫芦岛市高二期末)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b与的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．17 B．－17 C．－1 D．1 AC　[由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，＝＝，＝＝， ∴cos 120°＝＝＝－，解得λ＝17或λ＝－1.故选A、C.] 证明平行、垂直问题，除了应用传统的证明平行、垂直的判定定理外，还可以利用向量共线、平面的法向量及向量的数量积进行证明． [训练2]　如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ∥平面CEP； (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 证明　方法一(向量法) (1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P，Q分别为AB，CD的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴、y轴、z轴建系，如图所示．令AB＝2，PE＝a，则 A(1，0，0)，Q(0，1，0)，E(0，0，a)，C(－1，1，0). ∴＝(－1，1，0)，＝(－1，1，0)， ∴＝，∴∥，∴AQ∥PC. ∵AQ⊄平面CEP，PC⊂平面CEP，∴AQ∥平面CEP. (2)∵D(1，1，0)，E(0，0，a)， ∴＝(1，1，0)，＝(0，0，a)， ∴·＝(－1，1，0)·(1，1，0)＝－1＋1＝0， ·＝(－1，1，0)·(0，0，a)＝0. ∴⊥，⊥，即AQ⊥PD，AQ⊥PE. 又PD∩PE＝P，PD，PE⊂平面DEP， ∴AQ⊥平面DEP.∵AQ⊂平面AEQ， ∴平面AEQ⊥平面DEP. 方法二(传统法) (1)在矩形ABCD中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP綊QC， ∴四边形AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP. (2)∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P为AB的中点，∴AP＝AD. 连接PQ，则四边形ADQP为正方形，∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，EP，DP⊂平面DEP，∴AQ⊥平面DEP. ∵AQ⊂平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP. (1)求点到平面的距离，常常利用向量法，转化为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度． (2)求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则． [训练3]　在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC＝AD＝a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离． 解　(1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图． 则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a). 设F(0，m，0)，则＝(－a，m－a，0)，＝(－a，－a，a). ∵PC⊥CF，∴⊥，