1.5 全称量词与存在量词-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 【知识点梳理】 知识点一 全称量词与全称量词命题 1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示. 2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对. 知识点二 存在量词与存在量词命题 1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示. 2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对. 知识点三 命题的否定 1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定. 2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. 知识点四 全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . 知识点五 存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 知识点六 命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 知识点七 常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【题型归纳目录】 题型一：判断语句是否为命题 题型二：命题真假的判断 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典型例题】 题型一：判断语句是否为命题 例1.下列语句中，命题的个数是　(　　) ①空集是任何集合的真子集;②请起立; ③ 的绝对值为1;④你是高一的学生吗? A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 【解析】①③是命题;②是祈使句，不是命题;④是疑问句，不是命题. 【技巧总结】 判断一个语句是否是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题. 题型二：命题真假的判断 （多选题）例2．（2022·广西·高一阶段练习）下列说法中，以下是真命题的是（       ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】 举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】 选项A：当时，成立.判断正确； 选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误； 选项C：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确； 选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD （多选题）例3．（2022·安徽·青阳第一中学高一阶段练习）下列命题是假命题的为（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】 A选项，若，则，A正确. B选项，若，则，B错误. C选项，时，不能得到，C错误. D选项，，但，D错误. 故选：BCD 例4．（2022·江苏·高一单元测试）下列全称量词命题中真命题的个数为______个. ①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据实数的性质，二次函数的性质证明命题①②正确，举反例说明③错误． 【详解】 由，即，则，①正确； 二次函数y＝x2－ax－1中，即恒有两个不等实根，故二次函数y＝x2－ax－1与轴恒有交点，②正确； 时，，③错误． 综上，正确的命题有2个． 故答案为：2. 例5．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (4)平面上任意两条直线必有交点． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)假命题 【解析】 【分析】 解