专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲 1．子集的概念 2．真子集的概念 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 【题型1 子集、真子集的概念】 【方法点拨】 ①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（　　） A．3个 B．4个 C．8个 D．16个 【解题思路】化简集合A，再求子集个数即可． 【解答过程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}， ∴A的子集共有23＝8， 故选：C． 【变式1-1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．7个 【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数． 【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}， ∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集． 故选：C． 【变式1-2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（　　） A． B． C．62 D．26 【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个． 【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为， 故选：B． 【变式1-3】（2021秋•尚志市校级月考）已知集合，则集合A的所有非空子集．的个数为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案． 【解答过程】解：已知集合A＝{x∈N|∈N}＝{2，4，5}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个， 故选：C． 【题型2 集合的相等与空集】 【方法点拨】 ①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题． ②利用空集的定义去解题. 【例2】（2021秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（　　） A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1} C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）} 【解题思路】利用集合相等的定义直接判断． 【解答过程】解：对于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A错误； 对于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B错误； 对于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正确； 对于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D错误． 故选：C． 【变式2-1】（2021秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4} 【解题思路】空集的定义：无任何元素的集合，即可得出结论． 【解答过程】解：空集的定义：无任何元素的集合，选项B是空集． 故选：B． 【变式2-2】（2021秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【解题思路】由P＝Q，求出a，b的值，再计算a﹣b的值． 【解答过程】解：∵P＝Q， ∴，解得， ∴a﹣b＝0， 故选：C． 【变式2-3】（2021秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【解题思路】由集合元素的互异性，可求出结果． 【解答过程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q， ∴﹣b＝1，a＝﹣1， ∴a+b＝﹣2， 故选：A． 【题型3 集合间关系的判断】 【方法点拨】 ①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． ③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例3】（2022春•麒麟区校级期中）已知集合，，则集合M，N的关系是（　　） A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ 【解题思路】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可． 【解答过程】解：因为集合M＝{y|y，x∈Z}， 集合N＝