专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4．常用的数集及其记法 5．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 6．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 【题型1 集合的基本概念】 【方法点拨】 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 【例1】（2021秋•雨花区期末）下列对象不能组成集合的是（　　） A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值 【解题思路】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案． 【解答过程】解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合； C、方程x2＝1的实数根为﹣1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； D、函数y＝x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； 故选：B． 【变式1-1】（2021秋•鲤城区校级期中）以下各组对象不能组成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形 【解题思路】根据集合元素的特点：互异性、确定性、无序性，判断各选项即可． 【解答过程】解：对于选项A：中国古代四大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药，满足集合元素的特征，构成集合； 对于选项B：地球上的小河流，没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流， 故地球上的小河流不能组成集合． 对于选项C：方程x2﹣7＝0的实数解为±，满足集合元素的特征，构成集合； 对于选项D：周长为10cm的三角形也有明确的判断标准，满足集合元素的特征，构成集合； 故选：B． 【变式1-2】（2021春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【解答过程】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误， 对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确， 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误， 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误， 故选：B． 【变式1-3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④直角三角形的全体． 其中能构成集合的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据集合的元素的确定性可判断①②是错误的，根据集合的定义即可判断③④正确． 【解答过程】解：因为集合的元素必须是确定的，而①②中的数没有标准，故①②不能构成集合， 根据集合的定义可判断③④可以构成集合， 故选：A． 【题型2 判断元素与集合的关系】 【方法点拨】 直接法：如