1.3 集合的基本运算-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4.集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x(A∩B)，则xA且xB 若x(A∪B)，则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【题型归纳目录】 题型一：集合的交集运算 题型二：并集运算 题型三：补集运算 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 题型五：已知集合的交集、并集求参数 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典型例题】 题型一：集合的交集运算 例1.（2022·云南文山·高二期末（文））已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】 因集合，， 所以. 故选：C 例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））设集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由交集运算求解即可. 【详解】 因为是非零自然数集，所以 故选：B 例3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接求交集即可. 【详解】 由题意中的条件有. 故选：C 例4．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知集合，，，，则的元素个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集的定义即可求解. 【详解】 集合，，，， ∴， ∴的元素个数为． 故选：． 例5．（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高一阶段练习）若集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件探求集合P，Q的公共元素的规律，再根据规律即可判断作答. 【详解】 依题意，当，时，，，如果它们是相同元素， 则当，时，，即，于是得是3的整数倍， 令，则，此时，，因此，集合P，Q的公共元素是， 所以. 故选：D 【技巧总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 (1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素; ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式; ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个). (2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示. 题型二：并集运算 例6.（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接运用集合并集的定义进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故