2.4.2 简单幂函数的图象和性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．2　简单幂函数的图象和性质 第二章　函数 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题. 1 核心概念掌握 PART ONE 指数 底数 {x|x≠0} R R R [0，＋∞) {y|y≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 ＋∞)上单 在(－∞， 调递增 ＋∞)上单调 在[0， 递增 0]上单调递 在(－∞， 减 ＋∞)上 在 (－∞， 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 ＋∞)上单 在(0， 调递减 0)上单调递 在(－∞， 减 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　) (4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．(　　) × × × √ 3 －8 [0，＋∞) 2 核心素养形成 PART TWO ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 解 题型一　幂函数的定义 判断函数是幂函数的依据 答案 解析 解 A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 答案 题型二　幂函数的图象及应用 解析 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． [跟踪训练2]　 (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．n>1,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．n>1，m>1 D．n<－1，m>1 答案 解析　在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. 解析 ①求定义域； ②判断奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间． 解 题型三　幂函数的性质及应用 (3)∵y＝x2为R上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312. 又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增， 且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 解 比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题． [跟踪训练3]　比较下列各组数的大小： 解 解 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0， ∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0). 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 解析　由幂函数的定义知函数y＝5x不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 答案 解析 2．函数y＝x3的图象大致是图中的(　　) 答案 解析 3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 解析　a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b<a<c. 答案 解析 答案 解析 5．已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求