1.3.1 不等式的性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 第一章　预备知识 课程标准：1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用作差法比较代数式的大小. 1 核心概念掌握 PART ONE a－b>0 ＝ a<b a>c > > < > > < > a>b>0 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x2＝0，则x≥0.(　　) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (3)若a>b，则ac2>bc2.(　　) (4)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.(　　) √ √ × √ 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c (3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________. 答案 答案　x2＋2>3x 2 核心素养形成 PART TWO [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2) ＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. 解 题型一 作差法比较大小 解 解 作差比较法的四个步骤 解　x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b ＝(a－b)(a2＋1)． 当a＞b时，x－y＞0，∴x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，∴x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，∴x＜y. [跟踪训练1]　(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小． (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 解　(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6； 当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6； 当x<1时，x3＋6x<x2＋6. 解 例2　已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小． 解 题型二 作商法比较大小 作商法比较大小应注意的问题 作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子、分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤． 解 解 题型三 不等式的性质及应用 解析 [答案]　③④ 答案 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与命题的结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定． 解 解析 例4　(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc. ∴－ac<－bc. ∵f<e，∴f－ac<e－bc. 证明 题型四 利用不等式的性质证明不等式 (3)已知bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd. 证明 利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 (1)实质：根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件． (2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件． 证明 证明 解 题型五 利用不等式的性质求取值范围 解析 [结论探究]　若本例(1)中条件不变，求a＋b，ab的取值范围又如何解答？ 解　由2<a≤5,3≤b＜10得 2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10， 即5<a＋b<15,6<ab<50. 解 [跟踪训练5]　(1)已知－1<x<y<3，求x－y的取值范围． 解　因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因为x<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0， 故x－y的取值范围为(－4,0)． 解 (2)已知－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－