1.3.1不等式的性质 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

本教案聚焦不等式的六个基本性质，通过生活情境（如“不超过”“限速”等词汇）导入，关联初中等式性质与数轴比较大小的知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 特色在于以类比思想衔接等式与不等式性质，通过师生共同推导性质（如性质1-6的证明过程）培养逻辑推理素养，结合作差比较大小等例题落实应用。生活情境导入体现数学眼光，分层练习兼顾差异，助力教师高效教学，提升学生数学思维与建模能力。

课题 1.3.1 不等式的性质 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第三部分第一节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.掌握不等式的六个基本性质并能正确应用； 2.通过经历不等式性质的得出过程，积累数学活动经验 教学重、难点： 重点：掌握不等式的性质； 难点：在题目中能正确应用不等式的性质； 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修一的1.3.1不等式的性质，本节课主要研究不等式的性质和简单应用，它是进一步学习一元一次不等式的基础。它与前面学过的等式性质有联系也有区别，为渗透类比、分类讨论的数学思想提供了很好的素材。 本节课的内容蕴含着丰富的数学思想，是培养学生类比、化归、数形结合等数学思想的良好素材。同时，本节课也是初中数学教学的重点和难点，对进一步学习有着及其重大的作用。 核心素养 1.逻辑推理：通过不等式的性质和解法的学习，培养学生运用逻辑推理能力，解决不等式相关问题； 2.数学建模：培养学生运用不等式的性质证明问题的能力，培养学生的数学建模素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：从下列图片中我们可以得出什么信息？ 师生活动：学生说出自己的想法，教师点评。 教师讲解与生活息息相关的不等式词汇： 1. 不超过、不大于、限速、限重：≤ 2. 低于、小于：< 3. 相等、一样：= 4. 不小于、不低于：≥ 5. 超过、高于、大于：> 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：不等式的性质 例题典析 教师讲解： 在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小。关于实数a,b的大小比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a>b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a<b; 这个基本事实可以表示为 a>b a-b>0 a=b a-b=0 a<b a-b<0 接下来，我们对不等式的基本性质进行探索。 性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c. 师生活动： 教师引导学生明白要证a>c，只需证a-c>0，学生动手操作。 预设答案： 证明：因为a>b,且b>c， a-b>0 ,b -c >0 从而a-c =（a-b)+(b-c）>0，即a>c. 性质2：如果a>b，那么a+c>b+c. 师生活动： 教师引导学生明白要证a+c>b+c，只需证（a+c）-（b+c）>0即可. 预设答案： 证明：因为a>b，所以a-b>0， 所以（a+c）-（b+c） =a-b>0,即 a+c>b+c. 性质3：如果a>b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b,c<0,那么 ac<bc 师生活动： 教师引导学生分析，要证ac>bc，只需证明ac-bc>0即可. 预设答案： 证明：因为a>b，所以a-b>0. 又因为 c>0,所以(a-b)c>0即 ac-bc>0, ac>bc 请同学完成c<0的情况证明 例1、 试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小. 【师生活动】 学生自主思考，通过作差比较完成题目，教师出示解题过程。 【解析】 解：因为(x+1)(x+5) - (x+3)2=(x2+6x+5) - (x2+6x+9)= -4<0 所以 (x+1) (x+5) <(x+3)2 例2、试证明:若0<a<b,m>0,则 【师生活动】 学生自主思考，通过作差比较法进行证明，再结合已知条件得出答案，教师出示解题过程。 【解析】 证明： 因为a<b,所以b-a>0.又b>0,m>0,故 因此： 性质4：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 师生活动： 教师引导学生结合不等式的性质1和2分析题目，得出证明，教师进行讲解。 预设答案： 证明：由不等式的性质2,因为a>b,所以a+c>b+c. 又因为：c>d，b+c>b+d 由不等式的性质1,得a+c>b+d. 性质5：（1）如果a>b>0, c>d>0，那么ac>bd.; （2）如果a>b>0, c<d<0，那么ac<bd.; 师生活动： 教师引导学生结合不等式的性质1分析题目，得出证明，教师进行讲解，并引导学生用同样的方法证明（2）。 预设答案： 证明：因为a>b,c>0,所以ac>bc. 又因:c>d,b>0,所以bc>bd 由不等式的性质1,得ac>bd. 请同学们：完成c<d<0的情况证明 特殊情况：当a>b>0时，an>bn ,其中,n≥2 性质6：如果a＞b>0时，,其中,n. 师生活动： 教师引导学生利用反证法进行思考，再结合根据性质5和根式的性质，得到矛盾的结论，从而假设不成立。 预设答案： 证明：假设，即或． 根据性质5和根式的性质，得a＜b或a＝b． 这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而． 例3、（1）已知a>b,ab>0,求证 （2）已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d 【师生活动】 学生自主思考，通过不等式的性质进行证明，再结合已知条件得出答案，教师出示解题过程。 【解析】 证明：（1）因为ab>0,所以； 由不等式的性质3，得 (2) 因c<d，由不等式的性质3，－c＞－d 再由a＞b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a－c＞b－d． 通过对初中知识的延伸，探究不等式的6个性质，学生小组合作讨论，增加学生的合作能力，为后续的学习做铺垫 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 知识点：不等式的性质 性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c. 性质2：如果a>b，那么a+c>b+c. 性质3：如果a>b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b,c<0,那么 ac<bc 性质4：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 性质5：（1）如果a>b>0, c>d>0，那么ac>bd.; （2）如果a>b>0, c<d<0，那么ac<bd.; 性质6：如果a＞b>0时，,其中,n. 教学设计反思 成功之处： 通过类比等式的性质，降低了学生学习不等式性质的难度，也为学生理解不等式的性质提供了条件。 运用了类比的思想，让学生既学会了新知识又复习了旧知识，还把它们联系到了一起，学生接受起来比较容易。 运用了多种教学方法，如实验、讨论、归纳等，提高了学生的学习兴趣和参与度。 不足之处： 在学生探究不等式性质时，给出的例子可能不够充分，没有让学生再用其他的不等式或换其他的数加以验证，给学生留的空间太小。 部分学生在对不等式的性质的认可、理解、记忆上出现了问题，以至于在做练习时不能准确熟练地说出是运用了什么性质。 板书可能有些简单，没有充分展示不等式的性质和解题步骤。 改进措施： 在今后的教学中，要给学生提供更多的例子和练习，让他们能够充分验证和理解不等式的性质。 加强板书设计，充分展示不等式的性质和解题步骤，帮助学生更好地理解和掌握。 关注学生的个体差异，因材施教，设计分层教学目标和教学方法，提高教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $