第02讲 集合的运算-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第02讲 集合的运算 【学习目标】 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 【基础知识】 一、集合的并集 1.定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作,读作A并B, 2.数学表达式：. 3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示： ( A B ) ( A B B ) 4.解读：（1）仍然是一个集合. （2）并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可,这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼,必居其一,而并集中的“或”字可以是兼有的. 或有三层含义：；；. （3）对定义中“所有”二字不能简单地理解为把A,B中的元素放在一起,就是中的元素,要注意元素的互异性. 二、集合的交集 1.定义：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作,读作A交B. 2.数学表达式：. 3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示： ( A B B ) ( A B ) 4.解读：（1）由是由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合.（2）仍然是一个集合,当集合A与集合B没有元素时,. 三、集合的补集 1.全集的定义：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作. 2.全集解读： （1）全集包含我们所要研究的集合的全部元素,所要研究的集合都是它的子集. （2）全集是相对于所研究问题的一个相对概念,所研究的问题变了,全集有可能就变了,如我们只在整数集Z范围内研究问题时,全集就是整数集Z,而当研究的问题拓展到实数集时,全集就是实数R,这时,整数集Z就不是全集了. 3.补集的定义：对于全集的一个子集A,由全集中不属于A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集的补集,简称为集合A的补集,记作. 4.数学表达式：. 5.用Venn图表示（阴影部分）如图所示： ( U A ) 6.解读： （1）若全集为具体的数集,则全集符号可换成相应的数集符号,如全集为实数R,可记为. （2）补集既是集合之间的一种关系,又是集合之间的一种运算. 四、几个等价关系 在利用集合的交集、并集、补集性质解题时,常常会遇到A∩B＝A,A∪B＝B等这类问题,在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,以下几个等价转化关系,请同学们务必掌握：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程． 五、德摩根律与容斥原理 1.德摩根律 ① ； ② 2.解读：以上两式常在集合运算中出现,其正确性可通过下面的Veen图验证： 3.容斥原理 我们把含有有限个元素的集合称为有限集,用card（A）表示有限集A的元素个数,如A={-1,2,3,4},则card（A）=4, 由上图易得①card（A∪B）= card（A）+card（B）－card（A∩B）；② card（A∪B∪C）= card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）+card（A∩B∩C）. 六、进行集合的交、并、补运算注意三点： (1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合． (2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍． 【基础知识】 考点一：求集合的并集 例1．（2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学高一下学期期中）已知集合，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以；故选B 考点二：求集合的交集 例2．（2021-2022学年西藏拉萨中学高二下学期月考）已知集合，则A∩B=（       ） A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3} 【答案】D 【解析】由题设，.故选D 考点三：求集合的补集 例3．（2022届北京市第八十中学高三下学期考前热身练）已知，，则___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以或 考点四：集合的混合运算 例4．（2022届吉林省吉林市普通高中高三第四次调研）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，集合，所以，而集合