第03讲 充分条件与必要条件-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第03讲 充分条件与必要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 【基础知识】 一、 “⇒”及“⇔”的含义 “⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立, “⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”. 二、充分条件与必要条件 1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件； 2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件； 3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件； 4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件； 5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件． 6.充分条件与必要条件的理解 充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. 必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立” 7.从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件； (2)若A⊇B,则p是q的必要条件； (3)若A＝B,则p是q的充要条件； (4)若AB,则p是q的充分不必要条件； (5)若AB,则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件． 三、判断充分条件、必要条件的注意点 1.明确条件与结论. 2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题. 3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q. 四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别： 1.p是q的充分条件； 2.p的充分条件是q. 五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 2.要注意区间端点值的检验． 六、充要条件的证明策略 1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真. 2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 【基础知识】 考点一：充分条件与必要条件的判断 例1．（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立. 故选B. 考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断 例2．（多选）（2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末）下列四个命题中为真命题的是（       ） A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C．关于的方程有实数根的充要条件是 D．若集合，则是的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】且，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确； 当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC. 考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围 例3．（2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由已知可得，所以，. 考点四：充分条件与必要条件的推理 例4．（2021-2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（       ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】BD 【解析】由题意得，，，，，，所以，，， 所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD. 【真