1.2 集合间的基本关系-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集. 记作： 读作：A包含于B(或B包含A). 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等. 记作： 读作：A等于B. 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：AB（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 【题型归纳目录】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 题型二：韦恩图及其应用 题型三：由集合间的关系求参数的范围 题型四：集合间的基本关系 题型五：判断两集合是否相等 题型六：根据两集合相等求参数 题型七：空集的性质 【典型例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 例1．（2022·广东·金山中学高一期中）已知集合， 则的真子集有________个；若，则________． 【答案】     ；     . 【解析】 【分析】 空一：根据集合真子集个数公式进行求解即可； 空二：利用代入法，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】 空一：因为集合中元素的个数为，所以的真子集的个数为：； 空二：因为，所以有或， 当时，，这样不符合集合元素的互异性， 当时，，或， 当时，集合 当时，，这样不符合集合元素的互异性， 所以， 故答案为：； 例2．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】 先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】 解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 例3．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知集合． （1）若有两个子集，求的取值范围； （2）若中至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围； （2）由中元素个数为1或0可得结论． 【详解】 （1）①时，为一次方程，，符合题意； ②时，若中只有一个元素，则，即． 或． （2）中至多只有一个元素： ①中只有一个元素，由（1）知或； ②中没有元素，则此时，解得， 所以的取值范围为． 例4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集； 【详解】 解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个； 例5．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且． (1)求实数的值； (2)写出集合A的所有子集． 【答案】(1)1 (2)，，，，，，， 【解析】 【分析】 （1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集. (1) ∵， 当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去 当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上： (2) 由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，， 例6．（2022·全国·高一课前预习）写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集? 【答案】子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. 【解析】 【分析】 利用子集和真子集定义求解. 【详解】 由子集的定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}； 由真子集定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. 例7．（2022·全国·高一课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合． 【答案】集合为，，，，，，，． 【解析】 【分析】 根据集合中元素个数分类写出集合． 【详解】 解：①当中含有2个元素时，为； ②当中含有3个元素时，为，，； ③当中含有4个元素时，为，，； ④当中含有5个元素时，为． 故满足条件的