第3章 圆锥曲线与方程综合测试-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程综合测试 一、单选题 1．已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率 【详解】 由是一个等边三角形，可得 即，则有，即 则双曲线C的离心率 故选：A 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】 由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．已知斜率为的直线l与双曲线相交于A，B两点，且AB的中点是，则C的渐近线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点在双曲线上，联立方程，表示出中点与斜率的关系，进而求出双曲线的渐近线方程 【详解】 设两点的坐标为， 则有：， 两式相减，可得： 由直线的斜率为，且中点，可得： 故C的渐近线方程为： 故选：A 4．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆的离心率，可得，的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即，解得， 则双曲线的离心率为. 故选：C． 5．双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出，，由此可求其渐近线方程. 【详解】 由双曲线得，所以渐近线方程为， 故选：B 6．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ） A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】A 【解析】 【分析】 依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解. 【详解】 如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：A. 7．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设是双曲线的右焦点，根据中位线的性质得，，利用双曲线定义得，在中应用勾股定理可得的关系，即可求得离心率． 【详解】 是中点，设是双曲线的右焦点，如图， 则，．所以， 由双曲线定义知，所以，从而， 因为是圆切线，所以， 所以，所以． 故选：B． 8．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设出点A，B的坐标，利用“点差法”求解作答. 【详解】 设点，依题意，， 相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为， 又为线段的中点，则，，因此有，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A 二、多选题 9．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 【分析】 设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案. 【详解】 设椭圆方程为， 设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得， 则需， ， 即，，， 则，所以选项AC满足. 故选：AC. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（       ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案. 【详解】 由题意，椭圆，可得，则， 则的周长为， 又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为. 故选：BC 11．已知双曲线，则（       ） A．双曲线的焦点在轴上 B．双曲线的焦距等于 C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线的离心率的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案. 【详解】 解：对A：因为，所以，， 所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项A正确； 对B：由A知，所以，所以， 所以双曲线的焦距等于，故选项B错误； 对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即， 所以