第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求圆锥曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【基础知识】 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ①焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【考点剖析】 考点一：直线与椭圆的位置关系 例1．直线与椭圆的交点个数为（       ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的方程求得其右顶点为，上顶点为，结合直线的截距式方程，即可求解. 【详解】 由题意，椭圆，可得， 则椭圆的右顶点为，上顶点为， 又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点. 故选：C. 考点二：椭圆的弦 例2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，则线段的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出，直线的方程，联立后用韦达定理，求出，，再代入弦长公式中，求出线段AB的长 【详解】 中，，，所以，即，故左焦点为，而，故直线为：，联立得： ，设，，由韦达定理得：， 则由弦长公式得： 故答案为： 考点三：椭圆的综合问题 例3．已知椭圆C的两个焦点分别是､，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当m取何值时，直线与椭圆C： ①有两个公共点； ②只有一个公共点； ③没有公共点？ 【答案】(1) (2)①；②；③或 【解析】 【分析】 （1）由题意c=1，将点 的坐标代入椭圆的标准方程即可； （2）联立直线与椭圆方程，根据判别式求解即可. (1) 设椭圆C的标准方程为， 由题意可得： 解得 ， 所以椭圆C的标准方程为：； (2) 联立 消去y得：， 则 ， ①当，即时，方程有两个不同的实数根， 所以直线与椭圆C有两个公共点； ②当，即时，方程有两个相等的实数根， 所以直线与椭圆C只有一个公共点； ③当，即或时，方程无实数根， 所以直线与椭圆C没有公共点； 综上，当时有两个公共点； 当时，有一个公共点； 当或，