专题1.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 特别说明： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式——顶点式 1．已知：二次函数图象的顶点坐标为，且经过点；求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：，再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式． 解：设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 则抛物线的解析式为：． 【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式． 举一反三： 【变式1】已知一条抛物线顶点为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】y=-2x2+8x-3 【分析】设出顶点式，利用待定系数法求解． 解：因为抛物线顶点坐标为(2，5)， 设抛物线解析式为y=a（x-2）2+5， 代入（3,3）得3=a（3-2）2+5， 解得a=-2， ∴解析式为y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3． 【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，掌握解题不是是解决问题的关键：一设二代三解四写． 【变式2】已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣2）代入即可． 解：设二次函数的解析式为：y=a（x+2）2﹣3， 将（﹣3，﹣2）代入得：﹣2=a（﹣3+2）2﹣3， 解得：a=1， ∴这个二次函数的解析式为：y=（x+2）2﹣3． 【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式是解题的关键． 类型二、用待定系数法求二次函数解析式—— 一般式 2．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】把点、代入二次函数关系式，即可求出a、b的值，进而可得二次函数解析式． 解：把，代入二次函数解析式得 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．解题的关键在于正确的计算． 举一反三： 【变式1】已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)． (1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ； (2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象． (3)当 1 < x 4时， y的取值范围是 【答案】(1)2；（3，0）． (2)见分析 (3)﹣1≤y≤3 【分析】 （1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）． （2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象． （3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x＝2时，y取最小值，x＝4时，y取最大值． (1)解：∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称， ∴对称轴为直线x＝2， ∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0）， ∴点D坐标为（3，0）， 故答案为：2；（3，0）． (2)解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， ∴y＝x2﹣4x+3， 由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）． 图象如下： (3)解：由图象可知，在1 < x 4时， 当x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1， x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3， ∴﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． 【点拨】本题考查二次