第03讲 空间直线、平面的平行与垂直-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修二主干知识复习）

第03讲 空间直线、平面的平行与垂直 【学习目标】 1.借助长方体,在直观认识空间点,直线,平面的位置关系的基础上,抽象出空间点,直线,平面的位置关系的定义,了解以下基本事实（公理）和定理 2.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的性质定理,并加以证明 定理1：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行． 定理2：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 定理3：垂直于同一个平面的两条直线平行 定理4：两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 3.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的判定定理 定理5：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 定理6：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 定理7：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 定理8：如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 【基础知识】 一、空间中直线与平面之间的位置关系 1.直线在平面内,则它们有无数个公共点． 2.直线与平面相交,则它们有1个公共点． 3.直线与平面平行,则它们没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 二、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) l∥α,a⊂β,α∩β＝b ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) l∥α,l⊂β,α∩β＝b⇒l∥b 三、平面与平面之间的位置关系 1.两个平面平行,则它们没有公共点． 2.两个平面相交,则它们有一条公共直线,两个平面垂直是相交的一种特殊情况． 四、平面与平面平行的判定和性质 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b 五、证明平行时常用的其他性质 1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. 2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 六、判断或证明线面平行的常用方法 1.利用线面平行的定义(无公共点)． 2.利用线面平行的判定定理(aα,b⊂α,a∥b⇒a∥α)． 3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β)． 4.利用面面平行的性质(α∥β,aα,aβ,a∥α⇒a∥β)． 七、证明面面平行的方法 1.面面平行的定义． 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行． 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行． 4.两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行． 八、证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行,在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识, 如三角形的中位线与第3边平行,若四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边平行等. 九、线线垂直 如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面),那么这两条直线互相垂直． 十、直线与平面垂直 1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上 2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 , ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 十一、平面和平面垂直的定义 1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直． 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图