第02讲 正弦定理与余弦定理-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修二主干知识复习）

第02讲 正弦定理与余弦定理 【学习目标】 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 【基础知识】 一、三角形中的诱导公式 在△ABC中 1.； 2.； 3.,. 二、正弦定理 1.在三角形ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即．其中R是三角形ABC外接圆的半径． 2.正弦定理的其他形式： ①a＝2RsinA,； ②sinA＝,sinB＝,sinC＝； ③a∶b∶c＝. 【解读】①适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. ②结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. ③揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. 3.利用正弦定理求解“角角边”型:已知两角和任一边. 已知角B,C和边a. 4.利用正弦定理求解“边边角”型:已知两边和其中一边的对角. 已知角A和边a,b(有解). 5.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 6.利用正弦定理判断三角形形状 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 三、余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 , , . 2.余弦定理的变形： cosA＝, cosB＝, cosC＝. 3.由余弦定理可知,若C为锐角,则cosC>0,即a2＋b2>c2；若C为钝角,则cosC<0,即a2＋b2<c2；若C为直角,则cosC=0,即a2＋b2=c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角． 4.利用余弦定理求解“边边边”型,即已知三边. 已知边a,b,c. 5.利用余弦定理求解“边角边”型,即已知两边及夹角. 已知边a,b和角C. 6.利用余弦定理求解(3)“边边角”型,即已知两边和其中一边的对角. 已知边a,b和角A. 7.给出a2＋b2－c2＝λab形式求角,可用余弦定理；若,则；若成等差数列,或成等比数列,则 8.三角形中多次使用正、余弦定理问题 三角形中多次使用正、余弦定理是图形问题求解时的常用策略,求解时要借助相等角、互补角、相等的线段在几个三角形中分别使用正、余弦定理,列出多个关系式,相加或相减,或解方程组进行求解. 四、三角形面积公式 1. 2. (p＝), 3.S＝rp(R为三角形外接圆半径,r为三角形内切圆半径,p＝)． 4.△ABC的面积. 五、解三角形的应用 1.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解． 2.与测量有关的几类角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． (4)视角 观察物体时,从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角 (5)坡度（坡比） 在修堤、筑坝、开渠、挖河时,我们常常需要表示斜坡的倾斜程度.在上坡公路旁的指示牌上也常看到坡度的标志.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做这个斜坡的坡度（或坡比） .若用i表示坡度,则有,由坡度的意义可知,"坡度"是一个比值,它并不是表示一个角度.我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角 ,若用α表示,可知坡度与坡角的关系是=tanα 【考点剖析】 考点一：利用正弦定理求角 例1．（2021-2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期第一次素质检测）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得,故,而,故,故选C. 考点二：利用正弦定理求边 例2．（2021-2022学年河南省创新发展联盟高一下学期阶段性检测）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则（       ） A． B．3 C