专题1.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.13 二次函数的图象与性质 （知识讲解） 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数与之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 特别说明： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 要点四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 特别说明： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【类型一】把二次函数化为顶点式 1．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】(1)四，(2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1 【分析】 （1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． 解：(1)嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； (2) ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点拨】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 举一反三： 【变式1】 已知二次函数． (1) 用配方法化成的形式； (2) 直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为，顶点坐标为 【分析】 （1）利用完全平方公式进行配方即可；（2）依据配方后的解析式即可得到结论． (1)解：． (2) 对称轴为，顶点坐标为 【点拨】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶