专题1.10 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.10 二次函数的图象与性质 （知识讲解） 【学习目标】 1. 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 2. 熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 【要点梳理】 要点一、函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 特别说明：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 2.性质： 要点二、二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 特别说明： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 【典型例题】 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)开口向下，顶点为，对称轴为直线；(2)开口向上，顶点为，对称轴为直线；(3)开口向下，顶点为(1，1)，对称轴为直线. 【分析】 （1）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标； （2）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标； （3）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标. 解：(1)∵a=-5＜0，∴的图象开口向下，顶点为，对称轴为直线； (2) ∵a=3＞0，∴的图象开口向上，顶点为，对称轴为直线； (3) ∵a=-3＜0，∴的图象开口向下，顶点为(1，1)，对称轴为直线. 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 举一反三： 【变式1】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（       ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 解：在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 【变式2】抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____． 【答案】     下     直线x＝1     （1，2） 【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案 解：∵-3<0， ∴抛物线的开口向下， ∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 故答案为：下，直线x＝1，（1，2） 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键． 2．已知函数. （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ （4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？ 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图象与y轴交于（0,-6）；（3）得当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当时，y有最小值，最小值是-8. 【分析】 （1）根据二次函数性质，即可得到答案； （2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标； （3）根据二次函数的性质，即可得解； （4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案. 解：（1）由函数， ∵，，， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）. （2）令，即， 解得，. ∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）. 令，即， ∴