专题1.7 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.7 二次函数的图象与性质（知识讲解） 【学习目标】 1． 理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2． 会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3． 掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）. 【要点梳理】 一、的性质： 形如的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。 的符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时， 最小值 = k 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时， 最小值 = k 二、解读： （1）函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）； （2）抛物线可以看作是由抛物线向上或向下平移∣c∣个单位而得到的。当k＞0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上平移k个单位；当k＜0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向下平移∣k∣个单位。 （3）实际上在a相等的情况下，二次函数的图像与二次函数的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点坐标由（0，0）变成了（0，k）。 （4）在几条抛物线的表达式中，若∣a∣相等，则形状相同；若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。 三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途径任您选； 列表描点后连线，平移规律记心间，k正向上负向下。 【典型例题】 类型一、 1．已知：二次函数y＝x2﹣1． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)画出它的图象． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）． (2)图像见分析． 【分析】 （1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h； （2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象． (1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴； (2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0． 解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)； 令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)； 又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴， 再求出关于对称轴对称的两个点， 将上述点列表如下： x -2 -1 0 1 2 y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3 描点可画出其图象如图所示： 【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标． 举一反三： 【变式1】若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（       ） A．都关于轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到 【答案】A 解：因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确； 抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误； 抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误； 因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误； 故选A. 【变式2】 通过_______法画出和的图像： 通过图像可知： 的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________． 的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________． 【答案】     描点     向上     y轴          向上     y轴     【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可． 解：通过描点法画出和的图像， 通过图像可知： 的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为， 的开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标， 故答案为：描点；向上；y轴；；向上；y轴；． 【点拨】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键． 类型二、 2．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）m1=2