第03讲 内切球与外接球-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 内切球与外接球 【学习目标】 会求常见几何体的内切球与外接球. 【基础知识】 知识点一：正方体、长方体外接球 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： . 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 知识点七：垂面模型外接球 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 【考点剖析】 考点一：正方体、长方体外接球 例1．一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用长方体的外接圆直径为体对角线，即可求解． 【详解】 长方体的外接球直径即为长方体的体对角线， 由题意，体对角线长为：， 外接球的半径R＝， ＝17π， 故选：B． 考点二：正四面体外接球 例2．已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（       ） A．9 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示，设点是内切球的球心，设内切球半径为，外接球半径为．由题可知，在Rt△中，，即，又，化简可得：，即可得出答案. 【详解】 如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为． 在Rt△中，，即， 又，可得，. 故选：A． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 例3．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______． 【答案】29π 【解析】 【分析】 由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为，，5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球． 【详解】 由题意，，，，将三棱锥放到长方体中， 可得长方体的三条面对角线分别为，，5，设长方体的长宽高分别为a,b,c, 即，，， 解得：，，． 长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R， ∴﹒ 故答案为：29π． 考点四：直棱柱外接球 例4．正三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别取的中心，易知外接球的球心为的中点，进而结合勾股定理求出半径，然后求出球的表面积. 【详解】 如图，在正三棱柱中分别取的中心，取的中点O，易知底面ABC且点O为该三棱柱的外接球的球心，易得. 连接OB，则外接球半径，连接BD交AC于E，则E为AC的中点，所以，故.易知，由勾