第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 【学习目标】 1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。 2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。 3.掌握各种距离和距离的求解方法. 【基础知识】 知识点1.求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)． (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． (3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2.异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线. (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角. (3)结论——设(2)所求角大小为θ.若，则θ即为所求；若，则即为所求. 知识点3.直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 (1)确定斜线与平面的交点(斜足)； (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 知识点4.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角.如图③，为二面角的平面角. 知识点5.求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解. 【考点剖析】 考点一：异面直线所成的角 例1．在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，且与所成的角为60°，则的长为（       ） A．1或 B．或 C．1或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 连接EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在中分情况计算作答. 【详解】 连接EF，FG，EG，如图， 依题意，，且， 因与所成的角为60°，则或， 当时，是正三角形，， 当时，， 所以的长为1或. 故选：C 考点二：线面角 例2．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，底面，且，，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】 取的中点，连接，则平面，，由∥，得，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 解：取的中点，连接， 因为在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面， 所以平面，， 因为∥，所以， 所以是直线与平面所成角， 因为， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故答案为：. 考点三：二面角 例3．在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）作辅助线，证明，，即证明平面PAC，根据线面垂直的性质及可证明结论； （2）取CD中点为点F，连接AF，PF,证明平面PAF，从而说明是二面角的平面角．解直角三角形APF, 即可求得答案. (1) 证明：连接AC交于BD点O, 因为底面ABCD是菱形， 所以． 又因为平面ABCD，平面ABCD， ， 又因为， 所以平面PAC，平面PAC， 所以． (2) 取CD中点为点F，连接AF，PF, 因为底面ABCD是菱形，， 所以是等边三角形， 所以． 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 而， 所以平面PAF，平面PAF， 所以， 所以是二面角的平面角． 因为，则, 因为， 所以， 所以, 所以二面角的正弦值为． 考点四：距离问题 例4．如图，在直三棱柱中，，E，F分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)详见解析. (2) 【解析】 【分析】 （1）取的中点G，连接EG，FG，易得四边形EGFA是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据，利