第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 【学习目标】 1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法 2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型 【基础知识】 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1．定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2．坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3．基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4．几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） 1. （2）两式相加得： 2．极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。 （2）三角形模式：（M为BD的中点） ( A B C M ) 知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 【考点剖析】 考点一：定义法 例1．若中，，其重心满足条件：，则取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据为重心，且，利用中线定理得到，再分别在和中，利用余弦定理得到，由求解. 【详解】 解：如图所示： 因为，为重心，且， 所以，又，则， 在中，有， 在中，有， 两式相加得， 在中，，且， 所以， . 故选：D 考点二：坐标法 例2．在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以为坐标原点可建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标运算可表示出，结合范围可求得的取值范围. 【详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，，， ， ，，即的取值范围为. 故选：B. 考点三：基底法 例3．如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意易知，将表示为，再结合数量积的运算律计算即可． 【详解】 解：由题意可知正方形的边长为2， 则， ∵，， 设，的夹角为，则， . 故选：C. 考点四：几何意义法 例4．在中，，，，P为边上AC的动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的几何意义求解． 【详解】 如图，作于，作于，由已知得，， ， 当在线段上运动时地，在线段上运动，，所以， 故选：A ． 考点五：极化恒等式 例5．已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ） A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24] 【答案】C 【解析】 【分析】 借助于垂径定理处理，结合向量整理可得，再根据向量的加法可得． 【详解】 取EF的中点M，连接CM，则， ， 又，所以， 所以， 当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6， 故选：C． 【真题演练】 1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】 解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以