第1章 5 一元二次函数与一元二次不等式（配套word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第5节　一元二次函数与一元二次不等式 高考要求 考向预测 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1.命题趋势：不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点． 2．核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P15] 1．一元二次函数的性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是直线__x＝h__ . (2)当a＞0时，抛物线开口__向上__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增多而__减少__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增多而增多；函数在__x＝h__处有最小值，记作ymin＝__k__ . (3)当a＜0时，抛物线开口__向下__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增多而__增大__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增多而减少；函数在__x＝h__处有最大值，记作ymax＝__k__ . 2．一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不等的实根x1，2＝(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有 实根 不等式的解集 f(x)＞0 __{x|x＜x1或x＞x2}__ R f(x)＜0 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c＜0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝(　　) A．(－2，3)　　　　　　　 B．(1，3) C．(3，4) D．(－2，4) 解析　由题意知A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－2＜x＜3}，所以A∩B＝(1，3). 答案　B 3．(活用结论)“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　∵“(x－1)(x＋2)＞0”⇔“＞0”， ∴“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的充要条件． 答案　C 4．不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________． 解析　由－x2－3x＋4＞0可知，(x＋4)(x－1)＜0，得－4＜x＜1. 答案　(－4，1) 5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析　由题可得解得－4＜m＜0.所以m的取值范围是(－4，0). 答案　(－4，0) [对应学生用书P16] 考点1　不含参的一元二次不等式解法(题组练透) 1．不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　) A． B． C．(－∞，－1)∪ D．∪(1，＋∞) 解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0， 即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞. 答案　C 2．(2021·上海卷) 不等式＜1的解集为____________． 解析　＜1，即－1＜0，即＜0， 解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2). 答案　(－7，2) [练后悟通] 解一元二次不等式的方法和步骤 考点2　含参的一元二次不等式的解法(师生共研) [例1]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). [解析]　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以(x－1)＜0. 所以