第1章 4 基本不等式（配套word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第4节　基本不等式 高考要求 考向预测 掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1.命题趋势：本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等． 2．核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P12] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3)其中____称为正数a，b的算术平均数，____称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最小值是__2__ .(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最大值是____ .(简记：和定积最大) [微提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错． 几个重要的不等式 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3.≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 4.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤成立的条件是ab＞0.(　　) (3)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(易错题)若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 解析　因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2. 答案　D 3．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋　　　　　　　 B．1＋ C．3 D．4 解析　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. 答案　C 4．(活用结论)设0＜x＜1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________． 解析　y＝2x(1－x)≤2＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 答案　 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析　设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立．故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2. 答案　25 [对应学生用书P13] 考点1　利用基本不等式求最值(多维研析) 技法一　配凑法求最值 [例1－1]　(1)已知a＞b＞0，则a＋＋的最小值为(　　) A．　　　　　　　 B．4 C．2 D．3 (2)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． [解析]　(1)因为a＝[(a＋b)＋(a－b)]， 所以a＋＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋. 因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0. 由基本不等式可得(a＋b)＋≥2＝2　①，当且仅当(a＋b)＝，即a＋b＝2时，等号成立；(a－b)＋≥2＝　②，当且仅当(a－b)＝，即a－b＝时，等号成立． 由解得 所以当时，①②中的等号同时成立． 故a＋＋的最小值为2＋＝3. (2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． [答案]　(1)D　(2) [解题策略] 利用拼凑法求最值的技巧 拼凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． [提醒]　注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件． 技法二　常数代换法求最值 [例1－2]　设a＞0，b＞0，若2a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　解法一　＋＝(2a＋b)＝≥＝4， 当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立，故选B. 解法二　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立，故选B. [答案]　B [解题策略] 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值； (2)把确定的定值变形为1； (3)把“1”