第1章 3 不等式的性质（配套word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第3节　不等式的性质 高考要求 考向预测 1.掌握不等式的性质并能利用不等式的性质比较数与式的大小或证明简单的不等式． 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 1.命题趋势：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题． 2．核心素养：逻辑推理． [对应学生用书P10] 1．基本事实 a－b＞0⇔__a＞b__；a－b＝0⇔__a＝b__；a－b＜0⇔__a＜b__ . 2．不等式的性质 性质 内容 注意 传递性 a＞b，b＞c⇒__a＞c__ 可加性 a＞b⇔a＋c__＞__b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 同向相加 a＞b, c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0, c＜d＜0⇒ac＜bd 推论 a＞b＞0⇒an＞bn (n∈N＋，n≥2) 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2．有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) (2)若＞1，则a＞b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　) (6)若ab＜0，a＞b⇔＞.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N　　　　　　　　 B．M＝N C．M＜N D．与x有关 答案　A 3．(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．－＞0 B．－＜0 C．＞ D．＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＜－d＜－c，又0＜b＜a， 所以－bd＜－ac，即bd＞ac， 又因为cd＞0，所以＞，即＞. 答案　D 4．(活用结论)下列命题中，正确的序号是________． (1)若b＞a＞0，则＞； (2)若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； (3)若ab＞0，a＞b，则＜. 解析　(1)中，由分数性质知(1)正确； (2)中，因为a＞b，(－c)＜(－d)，不满足不等式的同向相加性，故(2)不正确； (3)中，因为ab＞0，所以a，b同号，所以当a＞b时，＜，故(3)正确． 答案　(1)(3) 5．已知1＜a＜4，2＜b＜8，则的取值范围为________． 解析　因为1＜a＜4，2＜b＜8，又因为＜＜， 所以＜＜＝2，即＜＜2. 答案　 [对应学生用书P11] 考点1　比较两个数(式)的大小(题组练透) 1．已知a1，a2∈(0，1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N　　　　　　　 B．M＞N C．M＝N D．不确定 解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1). ∵a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， ∴a1－1＜0，a2－1＜0. ∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0. ∴M＞N. 答案　B 2．已知a＞b＞0，m＞0，则(　　) A．＝ B．＞ C．＜ D．与的大小关系不确定 解析　－＝＝. 因为a＞b＞0，m＞0. 所以b－a＜0，a＋m＞0，所以＜0. 即－＜0.所以＜. 答案　C 3．若a＝，b＝，比较a与b的大小． 解析　因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝·＝＝＝log89＞1， 所以a＞b. [练后悟通] 比较大小常用的方法 [提醒]　用作差法比较大小的关键是对差式进行变形，常用的变形有方法通分、因式分解、配方等． 考点2　不等式的性质(师生共研) [例1]　已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A．若＞1，则a＞b B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ [解析]　A中，只有b＞0时正确，故A错误；B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．故选C. [答案]　C [解题策略] 判断不等式是否成立的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误选项，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性