第1章 2 常用逻辑用语（配套word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第2节　常用逻辑用语 高考要求 考向预测 1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1.命题趋势：含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档程度． 2．核心素养：逻辑推理、数学抽象． [对应学生用书P5] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的__必要不充分__条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分也不必要__条件 p⇒/ q且q⇒/ p [微提醒]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词命题与存在量词命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 __∀__ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 __∃__ (2)全称量词命题和存在量词命题否定 p 否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是__存在量词命题__ 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x) __∀x∈M，x不具有性质p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__ 1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B， (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B. 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(　　) (3)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的质数都是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数，x2也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案　B 3．(活用结论)已知a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　解法一　由a2＞a，得a2－a＞0，a(a－1)＞0，即a＞1或a＜0，所以条件“a＞1”可以推出结论“a2＞a”，反之不成立，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A. 解法二　若a2＞a，可取a＝－2，则(－2)2＞－2，但－2＞1不成立，而a＞1时，a2＞a成立，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A. 答案　A 4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是____________________． 答案　存在两个全等三角形的面积不相等 5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件． 解析　当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件． 答案　充要 [对应学生用书P6] 考点1　充分条件、必要条件的判断(题组练透) 1．(2021·广州市综合测试(一))“a＞b＋1”是“2a＞2b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＞b＋1，则2a＞2b＋1＞2b，即2a＞2b成立；若2a＞2b，则a＞b，但当1＞a＞b＞0时，a＜b＋1，所以“a＞b＋1”是“2a＞2b”的充分不必要条件，故选A. 答案　A 2．(2021·银川市教学质量检测)已知平面α，直线m⊄α，n⊂α，则“m∥α”是“m∥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当m∥α时，m与n平行或异面；当m∥n时，由线面平行的判定定理可得m∥α.所以“m∥α”是“m∥n”的必要不充分条件，故选B. 答案