第1章 2 命题及其关系、充分条件与必要条件（配套word）-2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教版）

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 高考要求 考向规律 1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 1．高考对本节内容的考查频率比较低．主要考查命题的真假及充要条件的判断． 2．考查题型：选择题、填空题. 知识点一　四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有__相同__的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__ . 知识点二　充分条件、必要条件与充要条件的概念 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 __p_q且q⇒p__ p是q的充要条件 __p⇔q__ p是q的__既不充分也不必要__条件 p q且q p 1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 2．区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同． 3．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句“2a＋1>0”是命题．(　　) (2)语句“2022≥2021”是真命题．(　　) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(　　) (4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (5)p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(课本习题改编)命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________ . 解析　当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个． 答案　2 3．(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件． (2)|a|>0是a>0的________条件． (3)a>β是sin α>sin β的________条件． 答案　(1)充分不必要　(2)必要不充分　(3)既不充分也不必要 4．(易错)命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是(　　) A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0 B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0 D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0 解析　否命题既否定条件又否定结论． 答案　B 5．(活用结论)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________ . 解析　由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2. 答案　(－∞，2] 考点一　命题及其关系(自主练透) 1．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是(　　) A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0 解析　“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”． 答案　D 2．以下命题： ①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题； ②“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题； ③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ④“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题． 其中真命题的序号是________ . 解析　对于①，其逆命题为“若f(－x)是奇函数，f(x)也是奇函数”，∵f(x)＝－f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，故①为真命题；对于②，“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题为“若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数”．由x，y均为奇数时，x＋y为偶数，故②为假命题；对于③，由逆命题“三个内角均为60°的三角形为正三角形”为真命题，可得其否命题也为真命题，故③为真命题；对于④，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3，故④为真命题． 答案　①③④ 3．命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否