【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法（50题竞赛真题强化训练）

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法 （50题竞赛真题强化训练） 一、解答题 1．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，. 2．（2019·全国·高三竞赛）设.证明：. 3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式． 4．（2019·全国·高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明： （1）可数个可数集的并为可数集； （2）存在超越数. 5．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求． 6．（2019·全国·高三竞赛）已知数列满足， .证明： 7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数数列满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求. 8．（2019·全国·高三竞赛）给定正整数，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值. 9．（2019·全国·高三竞赛）设为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子. 10．（2019·全国·高三竞赛）设，已知个正实数，，…，使对任意、，有，证明：· 11．（2019·全国·高三竞赛）已知各项均不小于1的数列满足：，，，试求：（1）数列的通项公式； （2）的值. 12．（2019·全国·高三竞赛）数列定义如下：对任何正整数，. 证明：存在无数个的取值，使对一切正整数，有. 13．（2019·全国·高三竞赛），，给定，，.证明：对任意、，.其中，表示与的最大公约数. 14．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 15．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数. 16．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的, . 17．（2018·四川·高三竞赛）已知数列满足：，若对任意正整数，都有，求实数的最大值. 18．（2018·全国·高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式. 19．（2018·广西·高三竞赛）设为非负数，求证：. 20．（2018·全国·高三竞赛）设为正整数数列，且对任意满足；的正整数m、n，存在正整数，使得．试对每一个固定的，求的最大值． 21．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，． 22．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足． （1）求证：． （2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由． 23．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得． 24．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：． 25．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：. 26．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中． 27．（2021·全国·高三竞赛）设n为不小于3的正整数，在正n边形中，选取一些对角线，满足其中的任两条对角线若在多边形内部相交则一定垂直．问：最多可选取多少条对角线？ 28．（2021·全国·高三竞赛）设是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得. 29．（2021·全国·高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则. 30．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有. 求证：（1）； （2）数列为单调数列. 31．（2021·全国·高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证： （1）若，则不是有界数列． （2）若，则是有界数列． 32．（2021·全国·高三竞赛）某个会议有若干人（至少3人）参加，现要将这些人分组．分组前，每个人都选择两个人．若被选择的两个人同组．则选择他们的人不能在这组中．求最小的正整数，使无论有多少人参加，且无论每人如何选择，都可以将他们按要求分成组． 33．（2019·全国·高三竞赛）在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幕（即形如，其中，是某个正整数）． 34．（2019·全国·高三竞赛）求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026