【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式（50题竞赛真题强化训练）

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2021·全国·高三竞赛）若，则__________． 2．（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且为的两实根.则的取值范围为______. 3．（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____. 4．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 5．（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的三个非零实根成等比数列，则______. 6．（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_________． 7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数、、、满足，，，.则______. 8．（2019·全国·高三竞赛）设抛物线的一条弦被直线：垂直平分.则弦的长等于_______. 9．（2019·全国·高三竞赛）对正整数k，方程的整数解组有_____个． 10．（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程的两根为、．若，则______． 11．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个． 12．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为__________. 13．（2019·江苏·高三竞赛）若x+y－2是关于x、y的多项式的因式，则a－b的值是________ . 14．（2019·江西·高三竞赛）设x>0，且，则____________ . 15．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 16．（2019·山东·高三竞赛）整数n使得多项式f(x)=3x3－nx－n－2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为______ . 17．（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的两根均为整数．则实数的值为______． 18．（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程有三个正实根.则的最小值为______. 19．（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为______． 20．（2019·全国·高三竞赛）对，，定义．设是一个6次多项式且满足，．用表示______． 21．（2018·河北·高三竞赛）若实数x、y、z满足，，则_____. 22．（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式，若，，则______． 23．（2018·全国·高三竞赛）设、、.且满足方程组，则的取值范围是__________. 24．（2018·全国·高三竞赛）设实数使得关于的一元二次方程的两个根均是整数.则所有这样的是__________. 25．（2018·全国·高三竞赛）设多项式满足.则=________. 26．（2018·全国·高三竞赛）已知关于的方程（）有三个实数根．则的最大值为______． 27．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值． 28．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有______个不同的实数根. 29．（2019·福建·高三竞赛）已知，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为____________ . 二、解答题 30．（2021·全国·高三竞赛）设是方程的两个实根，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围. 31．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y、z满足求证：x、y、z中至少一个为2020． 32．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为整系数多项式，若，求，. 33．（2019·新疆·高三竞赛）已知x、y、z是正数且满足.则x+y+z+xy=____________ . 34．（2019·山东·高三竞赛）已知是素数，求正整数n的所有可能值 35．（2019·全国·高三竞赛）设实数a、b、c、d满足. 证明：. 36．（2019·全国·高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明： （1）可数个可数集的并为可数集； （2）存在超越数. 37．（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数，使得是一个三元多项式． 38．（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数满足. (1)证明：二次方程必有实根； (2)当时,求. 39．（2019·全国·高三竞赛）设实数、、满足：存在为、、中某一个，且另两个恰为方程的两实根. 试求的最小可能值. 40．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数满足，，，……，求代数