【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）. 2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则__________． 3．（2021·全国·高三竞赛）在中，所对的旁切圆与边相切于点D，所对的旁切圆与边相切于点E．若，则面积的最大值为_______． 4．（2021·浙江·高三竞赛）在中，，在，为上两点，且，，点为的内心.若°，则______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________. 6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC中，AB=30，AC=20，S△ABC=210，D、E分别为边AB、AC的中点，∠BAC的平分线分别与DE、BC交于点F、G，则四边形BGFD的面积为________. 7．（2018·山东·高三竞赛）若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______． 8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC中，，，则△ABC的面积最大值为_____. 9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形中，，对角线、相交于O，，P、Q分别是腰、上的点，且，若，则_________． 10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC中，.在△ABC外部，到点B、C的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ . 二、解答题 11．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，E、F分别为延长线上的点，且的外接圆与交于不同于E的点K．证明：点K在的角平分线上． 12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形中，､分别是边上的点，线段､交于点P，和的外接圆的第二个交点Q位于的内部.证明：. 13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O、H分别为的外心与垂心，M、N分别为、的中点．是的外接圆的一条直径，如果是一个圆的内接四边形，证明：． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角的外接圆为，过B、C分别作圆的切线交于点P，P在直线、、上的投影分别为D、E、F，的外接圆与交于点N（不同于点D），A在上的投影为M．求证：． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形中，，M为的中点．D为线段上一点，E、F分别为上的点，且四边形为平行四边形.交于点P，的延长线交的延长线于点Q，的外接圆交的外接圆于A、K两点． 求证：K、Q、P、O四点共圆． 16．（2021·全国·高三竞赛）如图，、为圆的两切线，为圆的一条割线，为切点连线，D为过C、B关于圆的切线的交点，证明：D、E、F共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，，G为重心，P为射线上一点，满足，Q为射线上一点，满足，证明：、的外接圆的另一个交点在上． 18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形的对角线与交于点P，并且与交于Q．若，且E是的中点．求证：． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，最短，D、E分别在上满足，设I是内心，O是外心，求证：. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角中，为边中点，内切圆与边切一点的内切圆与边切于点，若四边形为平行四边形，求证：在的平分线上. 21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O是的外接圆，切线交于点P，D是的中点，K、L分别在线段上，且满足，连结，求证：． 22．（2021·全国·高三竞赛）点P为椭圆外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点． 23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角中，，D、E分别是、的中点，的外接圆与的外接圆交于点P（异于E），的外接圆与的外接圆交于点Q（异于D），证明：． 24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆. 25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD的边长为1点M是边AD的中点以M为圆心AD为直径作圆，点E在线段AB上，且直线CE与圆相切.求△CBE的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长． 27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角中，、是边上的点，、、的外心分别为、、．证明： （1）∽； （2）若，则．