【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题6 数列（50题竞赛真题强化训练）

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题6 数列 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2020·江苏·高三竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为__________． 2．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的最大值为__________． 3．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________． 4．（2021·全国·高三竞赛）实数a､b满足，则的最大值是___________. 5．（2021·全国·高三竞赛）已知圆与轴相交于两点，抛物线与圆相交于两不同的点，则梯形面积的最大值是___________. 6．（2020·浙江·高三竞赛）设，则__________. 7．（2021·全国·高三竞赛）设满足，则的最大值是___________. 8．（2021·全国·高三竞赛）设n是给定的正整数，是非负实数，，则的最小值是___________. 9．（2021·浙江·高三竞赛）已知，则的最小值为______. 10．（2021·浙江·高三竞赛）使得对一切正实数，恒成立的最大实数为______. 11．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______. 12．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________． 13．（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足，则的最小值为__________． 14．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____． 15．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________. 16．（2021·全国·高三竞赛）设，且满足，则的最大值为_________． 17．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________． 18．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字，，，数字位于，之间，称数值为该直线的邻差值.现将数字1~9填入的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______. 19．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______． 二、解答题 20．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足． 21．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立． 22．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有． 23．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得. 24．（2020·浙江·高三竞赛）设非负实数，，，证明：. 25．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c，满足，求证：． 26．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数p，使得对任意实数a､b均有. 27．（2021·全国·高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数x、y、z，均有，其中“”表示轮换对称求和． 28．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数满足：． 29．（2021·全国·高三竞赛）已知是正实数，求证：． 30．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：. 31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，记的最大值为．当b、c变化时，求的最小值． 32．（2021·全国·高三竞赛）在平面内画出条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过. 33．（2021·全国·高三竞赛）设n是一个大于等于3的正整数，当n满足什么条件时，对任意实数总成立：. 34．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值. 35．（2021·全国·高三竞赛）证明：对每个大于1的奇数，是无理数. 36．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：. 37．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c满足．求证：． 38．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数） 39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：． 40．（2021·全国·高三竞赛）设x、y、z均为非负实数，且满足：，求的最大值与最小值． 41．（2021·全国·高三竞赛）对每一个正整数，求最大的常数使得不等式对任意满足的实数成立． 42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：． 43．（2021·全国·高三竞赛）已知为正实数，且满足，求证：！．