【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2020·江苏·高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_________个． 2．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，，则的值为______． 3．（2021·全国·高三竞赛）记，则___________. 4．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求． 5．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________. 6．（2021·浙江·高三竞赛）设，，…，满足，，且，则数列的通项______. 7．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列，，…，，满足，，且（，2，…，9），则这样的数列个数共有______个. 8．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，则______. 9．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，，则整数k的最小值是___________． 10．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，则_________． 11．（2021·全国·高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_________． 12．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：.则_______. 13．（2021·全国·高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为___________． 14．（2021·全国·高三竞赛）数列{an}满足：(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=____________ . 15．（2019·贵州·高三竞赛）已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________ . 16．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知数列满足，，数列的前项和为，则使不等式成立的最小正整数的值为___________． 17．（2021·全国·高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，，则为___________. 18．（2021·全国·高三竞赛）设均为正实数，且则的最小值为_________. 19．（2019·河南·高二竞赛）等差数列{an}中，，记数列的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为____________ . 二、解答题 20．（2021·全国·高三竞赛）已知正项数列满足．记数列的前n项和为，求的值． 21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）． 22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数． 23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有． 24．（2021·全国·高三竞赛）实数列满足：，求的值． 25．（2021·全国·高三竞赛）定义在R上的函数，，，是否存在常数，使得对，有. 26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：. 28．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：． 29．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数） 30．（2021·全国·高三竞赛）设为给定的正整数，实数及满足如下条件： （1）； （2）； （3）； （4）． 证明：对一切，均有． 31．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，且．称为好数，如果使上述所定义的满足且．求全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和． 32．（2021·全国·高三竞赛）设多项式的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且． 33．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足． （1）求证：． （2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由． 34．（2021·全国·高三竞赛）设m是任一给定的正整数，正整数列定义如下：，求所有的正整数a，使得是周期的． 35．（2021·全国·高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数均有． 36．（2021·全国·高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则. 37．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有. 求证：（1）； （2）数列为单调数列. 38．（2021·全国·高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不