1.2 有理数-2022年暑假新七年级数学精品预习讲义（人教版）

1.2 有理数 学习目标 1.理解有理数的概念和分类； 2.了解、掌握数轴、相反数以及绝对值的概念和含义。 基础知识 一、有理数 1.有理数的定义 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 2.有理数的分类 【补充】(1)整数可以看作分母为1的分数，因此有理数都可写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有限小数或无限循环小数都是有理数。 (2)正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数。 (3)所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合。所有整数组成整数集合，所有有理数组成有理数集合。 二、数轴 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 (1)“规定”二字是说原点的位置、数轴的正方向、单位长度的大小都是根据实际需要确定的。 (2)单位长度和长度单位是两个不同的概念，单位长度是指具体的多长为单位“1”，而长度单位是指厘米、分米、米、千米等。 2.数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 3.数轴的画法 (1)画：画一条水平直线。 (2)取：在直线上取一点作为原点。 (3)定：确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来(箭头标在画出部分的最右边)。 (4)选：根据需要，选取适当的长度为单位长度。 (5)标：在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次标上-1，-2，-3，……。如图所示： 4.数轴上的点与有理数 有理数都可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点，而且是唯一的点，但数轴上的点不一定都表示有理数，还有些点表示无理数。 (1)一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 (2)在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 三、相反数 1.相反数的代数意义 像2与 与 等这样只有符号不同的两个数叫作互为相反数，把其中一个数叫作另一个数的相反数.0的相反数是0。 注意：(1)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉。 (2)“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为“只要”符号不同的两个数就互为相反数。 (3)要把“相反数”和“相反意义的量”区别开来，“相反数”不但数的符号相反，而且要求符号后面的数相同。 2.相反数的几何意义 两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等。这两点是关于原点对称的。 例如：+3和-3、+4.4和-4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示： 3.相反数的表示方法 一般地，数a的相反数是-a，这里a表示任意 一个数，它可以是正数、负数或者零。在任意一个数前面添上“-”号，所得的数都是原数的相反数，在一个数的前面添上一个“+”号，仍是原数。 4.多重符号的化简 数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正；若有奇数个时，化简结果为负。 5.相反数的特性：若a，b互为相反数，则a+b=0或a=-b或b=-a；反之，若a+b=0，则a，b互为相反数。 四、绝对值 1. 绝对值的概念 在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫作数a的绝对值，记作|a|，读作a的绝对值。表示数0的点即原点，到原点的距离是0，故|O|=0。 2.绝对值的意义 (1)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 总结： ①因为距离是非负的，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即所以绝对值最小的数是0。 ②互为相反数的两个数到原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。 (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 【补充】①含有绝对值的四则运算一般先要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)。 ②既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数，故绝对值是它本身的数是正数和0，绝对值是它的相反数的数是负数和0。 ③互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数。 (3)两个负数，绝对值大的反而小。 四、有理数大小的比较 1.利用数轴进行有理数的大小比较 (1)数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 (2)正数大于零，零大于负数，正数大于负数。 (3)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用表示a是正数；反之，a是正数也可以表示为；同理，用表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为。另外,可以用表示a是非负数，