1.1集合的概念及表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

1.1 集合的概念及表示 【题型解读】 【知识储备】 1．集合的概念 (1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． (2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等． [知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质： (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合． 2．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A [知识点拨]　符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 3．集合的表示法 (1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示： 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R (3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法． 【题型精讲】 【题型一　集合概念的理解】 必备技巧 判断一组对象是否能构成集合的三个依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 例1　（2022·河北高一月考）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） ①某高中高一年级聪明的学生      ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数            ④的近似值． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C. 例2　（多选）（2022·全国高一单元测试）下列各组对象能构成集合的是（ ） A．拥有手机的人 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】ACD 【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD. 【题型精练】 1. （2022·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：. 2．（2022·全国高一练习）下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 【答案】C 【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C. 【题型二　元素与集合的关系】 必备技巧 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 例3　（2022·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空： （1）0______；（2）_______； （3）_______；（4）2017_______. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】(1)为不含有任何元素的集合，所以； (2) ，； (3) (4)因为2017不能被表示为的形式，所以； 例4　（2022·吉林长春市期中）已知集合M=且，则M等于（ ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【答案】D 【解析】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a