1.2集合的关系（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

1.2 集合的关系 【题型解读】 【知识储备】 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 [知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． (4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集． (5)若A⊆B，且A≠B，则A⫋B． 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集． 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合． 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． (3)若A⊆B，A≠B，则A⫋B． 【题型精讲】 【题型一　集合间关系的判断】 必备技巧 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 例1　（多选）（2022·全国高一单元测试）下列四个选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误.对于B选项，集合的元素是点的坐标，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误.对于C选项，两个集合是相等的集合，故C选项正确.对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确. 故选CD. 例2　（2022·广东中山市高一期末）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B. 例3　（2022·浙江高一单元测试）已知集合，，则集合A，B之间的关系为________． 【答案】A=B 【解析】对于集合A，k=2n时， ， 当k=2n-1时， 即集合A= ,由B= 可知A=B，故填：A=B. 【题型精练】 1. （2022·浙江高一课时练习）已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　) A． B． C．M＝P D．M，P互不包含 【答案】D 【解析】由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D. 2．（2022·山东济南高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（ ）. ①；②⫋，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故⫋，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.故选：B 3. （2022·全国高三专题练习）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，时，取得所有奇数， ，时，取得整数因此．故选：B． 【题型二　确定集合的子集、真子集】 必备技巧 求集合子集、真子集的3个步骤 例4　（2022·沙坪坝重庆一中高一月考）已知集合，则的真子集共有（ ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【解析】因为，所以其真子集个数为.故选：D. 例5　（2022·河南信阳高中高一期末）已知集合，，，则满足条件的集合的个数为（ ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解析】，， ，则集合M中一定包含元素0、1， 满足条件的集合M有： ，共15个. 故选：C 【题型精练】 1．（2022·浙江高一课时练习）满足的集合M共有（ ）. A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【解析】集合M 中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B. 2. （2022·山东青岛二中期中）集合,则集合的真子集的个数是 A．1个 B．3个 C．4个 D．7个 【答案】B 【解析】由题意，集合， 则， 所以集合的真子集的个数为个，故选B． 3. （2022·陕西西安市高一期末）满足2，的集合A的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个． 故选C． 【题型三 两集合相等问题】 例6　（2022·浙江高一期中）下列集合与集合相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素