专题05 菱形的性质与判定（专项训练20题）-2021-2022学年八年级数学下学期期末复习专题训练20题＋常考知识点+最新中考真题训练（人教版）

2022年八年级下册—菱形的性质与判定专题训练20题（答案卷） 1．（2022•和平区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积． 【分析】（1）证AD＝ED，则DE＝AF，得四边形AFED是平行四边形，即可得出结论； （2）过D作DG⊥AF于G，由含30°角的直角三角形的性质得AG＝AD＝2，再由勾股定理求出DG＝2，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DEA＝∠FAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠DEA＝∠DAE ∴AD＝ED， ∵AD＝AF， ∴DE＝AF， ∴四边形AFED是平行四边形， 又∵AD＝ED， ∴平行四边形AFED是菱形； （2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示： ∵∠DAB＝60°， ∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°， ∴AG＝AD＝2， ∴DG＝＝＝2， 由（1）得：四边形AFED是菱形， ∵AF＝AD＝4， ∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8． 2．（2021秋•章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长． 【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论； （2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，再在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO， ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD， 在△MOD和△NOB中， ， ∴△MOD≌△NOB（AAS）， ∴OM＝ON， ∵OB＝OD， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴平行四边形BNDM是菱形； （2）解：∵四边形BNDM是菱形， ∴BM＝BN＝DM＝DN， 设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2， 即82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， 即BN＝10， ∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40． 3．（2022•大庆模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积． 【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论； （2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案． 【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； ∴AF＝DB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BC＝CD， ∴平行四边形ADCF是菱形； （2）解：∵D是BC的中点， ∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积， ∵四边形ADCF是菱形， ∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6． 4．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形； （2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得x＝，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（ASA）， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝13， 设AE＝x，则DE＝13﹣x， 在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2， 即132