专题06 正方形的性质与判定（专项训练20题）-2021-2022学年八年级数学下学期期末复习专题训练20题＋常考知识点+最新中考真题训练（人教版）

2022年八年级下册—正方形的性质与判定专题训练20题（答案卷） 1．（2021春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长． 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案； （2）由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB和BC，根据全等三角形判定的HL定理证得Rt△AOH≌Rt△AOF得到AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，根据AB＝AH+BH＝8，解方程即可求出x． 【解答】（1）证明：过O作OH⊥AB于H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC， ∴OG＝OH＝OF， 又四边形OGCF是矩形， ∴四边形OGCF是正方形； （2）解：在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝AB， ∵AC＝4， ∴AB＝2AC＝2×4＝8， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴BC＝＝4， 在Rt△AOH和Rt△AOF中， ， ∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL）， ∴AH＝AF， 设正方形OGCF的边长为x， 则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x， ∴4﹣x+4﹣x＝8， ∴x＝2﹣2， 即正方形OGCF的边长为2﹣2． 2．（2021春•娄星区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，连接CF． （1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形； （2）设DG＝x，请用含x的代数式表示△FCG的面积． 【分析】（1）先求出EH＝HG，再判断出△AHE≌△DGH，得出∠AHE＝∠DGH，进而判断出∠GHE＝90°，即可得出结论； （2）先判断出∠HEA＝∠FGM，进而判断出△AHE≌△MFG．得出FM＝HA＝1，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形EFGH为菱形， ∴EH＝HG， 在Rt△AHE和Rt△DGH中， ， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL）， ∴∠AHE＝∠DGH， 又∵∠DGH+∠DHG＝90°， ∴∠AHE+∠DHG＝90°， 则∠GHE＝90°． 所以菱形EFGH为正方形； （2）如图，过点F作FM⊥DC交DC所在直线于M，连接GE． ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG＝∠FGE． ∴∠HEA＝∠FGM， 在△AHE和△MFG中， ， ∴△AHE≌△MFG（AAS）． ∴FM＝HA＝1． 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1， ∴S△FCG＝GC•FM＝（3﹣x）×1＝﹣x+（0≤x≤）． 3．（2019春•襄州区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明． 【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可； （2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB即可． 【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠DEF＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠NEM＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； （2）∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴在Rt△ABC中，， ∴ 4．（2019•江西模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°