第06讲 预备知识二：1.2集合间的基本关系(精讲）【 暑期完美升级—初升高数学衔接】2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练（人教A版2019）

第6讲 预备知识二：1.2集合间的基本关系(精讲） 目录 一、知识衔接 二、典型例题 题型一：判断集合子集（真子集）个数 题型二：求集合子集（真子集） 题型三：判断集合的包含关系 题型四：根据集合的包含关系求参数 题型五：判断两个集合是否相等 题型六：根据两个集合相等求参数 题型七：空集 一、知识衔接 1、子集、空集与Venn图 1.1子集的定义： 一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。 1.2 Venn图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示： 要点说明： ①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法； ②规定：空集是任何集合的子集； ③任何一个集合是它本身的子集，记作AA； ④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC； ⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合． ⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 2、集合的相等 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。 要点说明： ①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可； 　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关； ③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。 ④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； ⑤集合中的关系与实数中的结论类比 实数 集合 包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或 若，且，则 若AB，且AB，则A＝B 若，，则 若AB，BC，则AC 3、真子集 真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 要点说明： 理解真子集的定义要注意一下几点： ①空集是任何非空集合的真子集； ②对于集合A，B，C，如果，，那么； ③若，则与有两种可能的关系：即或； 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作； 要点说明： 空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 题型一：判断集合子集（真子集）个数 典型例题 例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 例题2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知集合，则的子集共有（ ） A．3个 B．4个 C．8个 D．16个 例题3．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（  ） A． B． C． D． 例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的真子集个数为________． 题型归类练 1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（       ） A． B． C． D． 2．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知集合，则的真子集共有（       ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 3．（2022·广东·深圳外国语学校高一期末）集合的真子集的个数是（　　） A．16 B．8 C．7 D．4 4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的真子集有 A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2022·河南南阳·高一期末）集合的子集个数为______． 题型二：求集合子集（真子集） 典型例题 例题1．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数＝（       ） A．2 B．1 C．0 D．-1 例题2．（2022·四川·高三阶段练习（理））集合的一个真子集可以为（       ） A． B． C． D． 例题3．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足的所有集合是______. 例题4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集. 题型归类练 1．（多选）（2021·湖南·怀化五中高一期中）若，则(       ) A． B． C． D． 2