21.3 实际问题与一元二次方程（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版） 21.3 实际问题与一元二次方程 题型导航 ( 实际 问题 与 一 元 二 次 方 程 ) ( 传播问题 ) 题型1 ( 增长率问题 ) 题型2 ( 与图形有关的问题 ) 题型3 ( 数字问题 ) 题型4 ( 营销问题 ) 题型5 ( 动态几何问题 ) 题型6 ( 工程问题 ) 题型7 题型变式 【题型1】传播问题 1．（2022·上海·八年级专题练习）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】D 【解析】 【分析】 设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x-1）件礼品，依次列方程解答即可． 【详解】 解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品， 依题意得：x（x﹣1）＝56， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系式，列出方程，是解题关键. 【变式1-1】 【题型2】增长率问题 1．（2021·全国·九年级期中）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 【答案】D 【解析】 【分析】 设增长率为x，根据三天累计票房收入达到10亿元，列出方程即可． 【详解】 解：设增长率为x， 依题意，得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10，故D正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题目的等量关系式，是解题的关键． 【变式2-1】 2．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为______； 【答案】1＋m＋m（1＋m）＝625 【解析】 【分析】 1个人第一轮感染了个人，此时第一轮后已经有人感染，第二轮人，每人又感染人，由此列出方程即可． 【详解】 解：依题意得，， 故答案为： 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【题型3】与图形有关的问题 1．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（　　） A．10 B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 证明△ABF≌△DAE得BF=AF，AF=DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵BF⊥AM， ∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°， ∴∠ABF=∠DAE， ∵DE⊥AM， ∴∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF=AE，AF=DE=1， 设BF=AE=x，则EF=x-1， ∵四边形ABED的面积为10， ∴EF•BF+AF•BF×2＝10，即x(x−1)+ x×2＝10， 解得：x=-5（舍）或x=4， ∴BF=4， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等． 【变式3-1】 2．（2022·湖南永州·一模）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m． 【答案】2 【解析】 【分析】 设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积， 依题意得：（22-x）（14-x）=240， 整理得：x2-36x+68=0， 解得：x1=2，x2=34