第4章 第2讲 导数与函数的单调性-【金版教程】2023高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，新高考题型版）

第2讲　导数与函数的单调性 第四章　导数及其应用 1 基础知识整合 PART ONE 单调递增 单调递减 常数函数 定义域 用充分必要条件诠释可导函数与该函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤ 0) 是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件． 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 答案 解析　由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，观察四个图象可知选D. 解析 2．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析　由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1.故选D. 答案 解析 3．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0,1) 答案 解析 解析　由题意知，f(x)在定义域内是单调递减函数，∴f′(x)＝cosx－a≤0恒成立，即cosx≤a在x∈R上恒成立，∴a≥1.故选D. 答案 解析 5．已知函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是___________________； (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________. 解析 解析 2 核心考向突破 PART TWO 答案 解析 考向一　利用导数研究函数(不含参)的单调性 (2)(2021·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝x(1－ln x)．讨论f(x)的单调性． 解 (3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x)的单调区间． 解 利用导数研究函数(不含参)单调性的方法 方法一： (1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集； (4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调递增(减)区间．若不等式中带有参数，可分类讨论求得单调区间． 方法二： 当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． 解析 (－∞，0) (0,1) 2．求函数f(x)＝e2x－e(2x＋1)的单调区间． 解 例2　(1)(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. ①讨论f(x)的单调性； ②求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． 考向二　利用导数研究函数(含参)的单调区间 解 解 解 所以切线l的方程为y＝(1＋a)x. 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x， 则x3－x2－x＋1＝0，(x－1)2(x＋1)＝0，解得x＝±1， 所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1,1＋a)和(－1，－1－a)． 解 (2)已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，试讨论函数g(x)的单调性． 解 解 解 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 3.(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2，讨论f(x)的单调性． 解 解 解 ∴f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m,1)上单调递增． 综上，当m＝0时，f(x)在R上单调递减； 当m>0时，f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上