21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系（课件）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

一元二次方程的根与系数的关系 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 2 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 解下列方程并完成填空： （1）x2+5x+6=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2+6x+8=0. 2 3 5 6 1 -4 -3 -4 -2 -4 -6 8 三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0   这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.   于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， 由此可得 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. (1)不是一般式的，要化成一般式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0； (3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 （1）解：a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=6,x1x2=-15. 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 （2）解：a=3，b=7，c=-9. Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-,x1x2=-3. 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 （3）解：方程化为一般形式为4x2-5x+1=0 a=4，b=-5，c=1. Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2= , x1x2=. 不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1 解： (1)方程化为x2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15. (2)方程化为3x2+4x+1=0. x1+x2=-，x1x2=. (3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1. (4)方程化为2x2-4x+1=0. x1+x2=-=2，x1x2=. 例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2. 所以：x1•x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1•x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=