第01讲 集合的概念与集合间的基本关系-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念与集合间的基本关系 【学习目标】 1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解空集的含义. 【基础知识】 一、集合的概念 1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 二、集合与元素的关系 如果a是集合A的元素,记作,读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素,记作,读作“a不属于A”. 三、集合中元素的特点 1.确定性：集合的元素必须是确定的. 2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的. 3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法 所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N+或N*； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R. 五、集合的表示 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如,等. 2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质,而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质为集合 A的一个特征性质,此时集合A可以表示为,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法. 3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如表示方程x2－x=0的解集；表示函数y=x2-x的自变量组成的集合；表示函数y=x2－x的函数值组成的集合；表示抛物线y=x2－x上的点组成的集合. 六、子集 1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.规定：空集是任何集合的子集,即. 3.子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集,即. （2）若,且,则. 七、 韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A是B的子集,可用下图表示： ( B A ) 八、真子集 1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）. 2.真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集. （2）若A B,B C,则A C. 九、集合的相等与子集的关系 1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B. 2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A. 十、有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2. 【基础知识】 考点一：集合的判断 例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（       ） A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数 【答案】D 【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C, 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D. 考点二：元素与集合的关系 例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N,其中正确的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】是实数,①正确；是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－是无理数,④正确. 所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用 例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由,,可组成含个元素的集合,则实数的取值可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由元素的互异性可得,解得且且.故选C. 考点四：集合的表示 例4．（多选）集合用描述法可表示为（       ） A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 【答案】AB 【解析】对A,是不大于9的非负奇数表示的集合是,故A正确； 对B,且表示的集合是,故B正确； 对C,表示的集合是,故C错误； 对D,表示的集合是,故D错误. 故选AB. 考点五：集合关系的判