第01讲 平面向量的数量积（主干知识复习）-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第01讲 平面向量的数量积 【学习目标】 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 5.能用坐标表示平面向量垂直的条件. 【基础知识】 一．平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2.平面向量的数量积 (1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b (2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。 解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是 数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵． 二、投影向量 1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． 2.向量a在b方向上的投影向量·. 3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 三、平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 1.e·a＝a·e＝|a|cosθ. 2.a⊥b⇔a·b＝0. 3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cosθ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 四、平面向量数量积满足的运算律 1.a·b＝b·a； 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 五、平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝. 3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝. 六、平面向量数量积运算的常用公式 1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． 2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 【考点剖析】 考点一：利用定义求平面向量的数量积 例1．（2021-2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中）已知向量，满足，，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为．故选D． 考点二：向量的投影向量 例2．（2021-2022学年天津市河北区高一下学期期中）已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为（       ） A．－ B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，与的夹角为135°，所以在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为－，故选A. 考点三：利用数量积的性质求向量的模 例3．（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试）已知，是平面内的两个向量，，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，所以. 故选D 考点四：利用数量积性质求向量的夹角 例4．（2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测）已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】因为，，且在方向上的投影向量为，设与的夹角为，则，即，又因为，且，故． 考点五：利用数量积求解垂直问题 例5．（2021-2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考）已知向量，满足，，，若，则实数的值为（       ） A．2 B． C．9 D． 【答案】C 【解析】由，可得，由，可得，又，，则有，故，