专题08 空间中的平行与垂直关系-2022年新高二数学暑假预习精讲精练（新人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册）

2022年高一数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019） 专题08空间中的平行与垂直关系 基础知识复习 任务1 空间中点的向量表示 点的向量表示：在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 任务2 用向量表示直线 空间直线的向量表示：如图，点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 任务3 空间中平面的向量表示 1.空间平面的向量表示：如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 2.平面的法向量：如图，直线，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 任务4 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则，使得. 若两条不重合的直线，的方向向量分别为，，则. 任务5 线面平行 设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，，则. 任务6 面面平行 设，分别是不重合的平面α，β的法向量，则，使得. 若平面α的法向量，平面β的法向量，则. 任务7 线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则. 任务8 线面垂直 设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则. 任务9 面面垂直 若平面α的法向量，平面β的法向量，则. 典型习题强化 一、单选题 1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（       ） A． B． C． D．以上选项都不对 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（       ） A． B． C． D．与相交不垂直 4．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（       ） A． B． C． D． 5．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（       ） A．，，且， B．，，且 C．，，且 D．，，且 6．两平面，的法向量分别为=，=，若⊥，则的值是（       ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 7．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（　　） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 8．给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则. ③平面的法向量分别为，则. ④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1. 其中真命题的序号是（       ） A．②③ B．①④ C．③④ D．①② 9．已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内（       ） A． B． C． D． 10．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（       ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时， 二、多选题 11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（       ） A．若两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 D．若两个不同的平面的法向量分别是，则 12．如图，直三棱柱中，，，D，E，M分别为，，的中点，点N是棱AC上一动点，则(       ) A． B．存在点N，平面 C．∥平面 D．存在点N， 13．已知正三棱柱中，为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面， B．和到平面的距离相等 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 三、填空题 14．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是___________. ①(-1，1，1)，②(1，-1，1)，③(-，-，-)，④(，，-). 15．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______． 16．如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条． 四、解答题 17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面，，，. (1)求证：. (2)设点E在棱PC上，若平面，求的值. 18．如图，在四棱锥中，底面，，