专题13 圆的标准方程与一般方程-2022年新高二数学暑假预习精讲精练（新人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册）

2022年高一数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019） 专题13圆的标准方程与一般方程 基础知识复习 任务1 圆的标准方程 圆的标准方程 （1）圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. （2）圆的基本要素是圆心和半径. （3）圆的标准方程：圆心为，半径为的圆的标准方程是. 特别提醒：（1）由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. （2）当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆. 任务2 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，半径为. 与的大小 点与圆的位置 点在圆内 点在圆上 点在圆外 任务3 圆的一般方程 （1）圆的一般方程的概念： 当时，二元二次方程叫作圆的一般方程. （2）圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程表示的圆的圆心坐标为，半径长为. （3）当时，表示一个点； （4）当时，方程不表示任何图形. 任务4 待定系数法 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下： （1）根据题意选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F，得到圆的标准方程或一般方程. 任务5 求轨迹方程 1.求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系. 2.求轨迹方程的常用方法 （1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下： （2）代入法（也称相关点法）：若动点跟随某条曲线（直线）C上的一个动点的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.具体步骤如下： （1）设所求轨迹上任意一点，与点相关的动点； （2）根据条件列出x，y与，的关系式，求得，（即用x，y表示出来）； （3）将，代入已知曲线的方程，从而得到点满足的关系式即为所求的轨迹方程. （3）定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 典型习题强化 一、单选题 1．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（       ） A． B． C． D． 2．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 3．圆心在，半径长是的圆的标准方程是（     ） A． B． C． D． 4．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（          ） A． B． C． D． 5．已知实数，满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 6．若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 7．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（       ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 8．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（       ） A． B． C． D． 9．已知直线：是圆的一条对称轴，则的值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若圆过坐标原点，则实数m的值为（       ） A．0或3 B．-1或-2 C．3 D．0 二、多选题 11．圆（       ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 12．设有一组圆：，下列命题正确的是（       ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 13．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（       ） A．C的方程为 B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 C．在C上存在K使得 D．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 三、填空题 14．方程表示圆，则的取值范围为______． 15．已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y＝0上，则此圆的方程为______． 16．与轴相交于､两点，且半径等于的圆的方程是___________. 四、解答题 17．求下列圆的方程 (1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； (2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 18．已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点和，半径为． (1)求圆P的方程； (2)设点Q在圆P上，试问使△的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论． 19．已知圆的圆心在直线上，且过和两点